В 1998 году Соловьев А.А. окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных по специальности «хоровое дирижирование» (класс доцента Байковой Е.Н.), в 2000-м — ассистентуру-стажировку (руководитель — Владимир Семенюк), в 2006-м — ассистентуру-стажировку по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» (руководитель — Владимир Федосеев). В 1998-2006 годах регулярно занимался под руководством дирижёра Арнольда Каца.
В 1995-2010 годах — второй дирижёр Московского государственного академического камерного хора под управлением Владимира Минина. С 2001 по 2021 годы преподавал на кафедре хорового дирижирования Российской академии музыки имени Гнесиных (с 2008 года — доцент) и руководил студенческим хором заочного отделения, с 2011 по 2021 преподавал на кафедре оперно-симфонического дирижирования, в 2011–2014 годах руководил оркестром академии. С 2009 года сотрудничает с Центром оперного пения Галины Вишневской, где дирижирует такими операми, как «Руслан и Людмила» М.И. Глинки, «Борис Годунов» М.П. Мусоргского, «Евгений Онегин» и «Иоланта» П.И. Чайковского, «Кармен» Ж. Бизе, «Риголетто» Дж. Верди, «Паяцы» Р. Леонкавалло, «Богема» Дж. Пуччини, регулярно проводит гала-концерты. В 2011-2020 годах — дирижёр-стажёр Большого театра, где дирижировал операми «Борис Годунов» М.П. Мусоргского, «Иоланта» П.И. Чайковского, «Царская невеста», «Садко» и «Золотой петушок» Н.А. Римского-Корсакова, «Набукко» и «Риголетто» Дж. Верди, «Сомнамбула» В. Беллини, «Дон Паскуале» Г. Доницетти, «Так поступают все женщины» и «Свадьба Фигаро» В.А. Моцарта, «Севильский цирюльник» Дж. Россини, «Кармен» Ж. Бизе, «Кавалер розы» Р. Штрауса, «Дитя и волшебство» М. Равеля (дирижёр-постановщик), балетами «Симфония до мажор» на музыку Ж. Бизе, «Парижское веселье» на музыку Ж. Офеенбаха, «Марко Спада» Д. Обера, «Этюды» на музыку К. Черни, «Щелкунчик» П.И. Чайковского, «Клетка» на музыку И.Ф. Стравинского, «Иван Грозный» С.С. Прокофьева, «Анюта» В. А. Гаврилина, «Герой нашего времени» И.А. Демуцкого, «Мойдодыр» Е.И. Подгайца. В качестве ассистента дирижёра участвовал во многочисленных премьерных постановках Большого театра. На протяжении девяти лет активно сотрудничал и дирижировал концертами Молодёжной программы Большого театра России.
Дирижировал финальными турами V и VI Международного конкурса оперных певцов Галины Вишневской; I и II Московского международного конкурса пианистов Владимира Крайнева. Сотрудничал с такими дирижёрами, как Арнольд Кац, Владимир Федосеев, Владимир Спиваков, Саулюс Сондецкис, Михаил Плетнёв, Василий Синайский, Марчелло Виотти, Фабио Луизи, Стефано Монтанари, Эвелино Пидо; такими певцами, как Евгений Нестеренко, Зураб Соткилава, Ирина Архипова, Маквала Касрашвили, Мария Гулегина, Хибла Герзмава, Лора Клейкомб, Паата Бурчуладзе, Ильдар Абдразаков, Томас Аллен, Лео Нуччи; такими исполнителями, как Денис Мацуев, Николай Луганский, Андрей Гугнин, Филипп Копачевский, Александр Рамм, Айлен Притчин, Александр Малофеев; исполнял концертные программы с Национальным филармоническим оркестром России, Государственным академическим симфоническим оркестром имени Е.Ф. Светланова, Российским национальным оркестром, Большим симфоническим оркестром имени П. И. Чайковского, оркестром «Новая Россия», Оркестром под управлением Павла Когана; выступал с Оркестром Пражского радио, Филармоническим оркестром имени Артуро Тосканини (Парма), Orchestra of Colours (Афины), Симфоническим оркестром Дома музыки Порту. Принимал участие в записях для фирм Deutsche Grammophone и Naxos. Среди недавних проектов — Бал Елены Образцовой с участием звёзд мировой оперы и гала-концерт в честь юбилея А. Н. Пахмутовой в Большом театре.
С 2017 года является постоянным приглашенным дирижером оркестра «Виртуозы Москвы» (художественный руководитель – народный артист СССР Владимир Спиваков), выступает в России и за рубежом.
С декабря 2020 года — главный дирижёр Михайловского театра. Дирижер-постановщик оперы П.И. Чайковского «Опричник» (премьера состоялась в мае 2021; в сентябре 2021 прошли премьерные гастроли в Москве).
С оркестром театра регулярно проводит концерты в Большом зале Петербургской филармонии.